見本PDF 中学 数BEKI | 塾用教材 | 教育開発出版株式会社 suubeki k1 sample

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8 ^{空間図形の計量①}

３９ 柱体の体積・表面積

① 立体のすべての面の面積の和を表面積という。また，側面全体の面積を側面積，1 つの底面 の面積を底面積という。

② (柱体の体積)=(底面積)×(高さ)，(柱体の表面積)=(側面積)+(底面積)×2

次の柱体の体積と表面積を求めよ。

⑴ ⑵

解 底面積は，¹

2^{×3×4=6 cm より，} 体積は，6×3=18 (cm³)

側面積は，3×3+4+5=36 cm^ より， 表面積は，36+6×2=48 (cm²)

解 底面積は，π×5^=25π cm^ より， 体積は，25π×8=200π (cm³⁾

側面積は，8×2π×5=80π cm^ より， 表面積は，80π+25π×2=130π (cm²⁾

157

次の柱体の体積と表面積を求めよ。

□⑴ □⑵ □⑶

□⑷ □⑸ □⑹

158

底面の半径が4 cm の円柱がある。この円柱の側面積が表面積の半分であるとき，円柱の高さ を求めよ。

□

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■ ４０ 組み合わさった立体

右の図の立体の体積と表面積を求めよ。

解 この立体は，2 つの円柱が重なってできた立体である。 求める体積は，2 つの円柱の体積の和に等しいから，

π×1^×3+π×2^×3=15π (cm³⁾

求める表面積は，小さい円柱の側面積と大きい円柱の表面積の和 に等しいから，

3×2π×1+3×2π×2+π×2^×2=26π (cm²⁾

159

次の立体は，直方体，立方体，円柱が組み合わさった立体である。体積と表面積を求めよ。

(円柱から円柱を くり抜いた立体)

□⑴ □⑵ □⑶

４１ 角錐の体積・表面積

錐体の体積=¹

3×底面積×高さ，錐体の表面積=側面積+底面積

右の図の正四角錐の体積と表面積を求めよ。 解 底面積は，10^=100cm^ より，

体積は，¹

3×100×12=400 (cm³) 側面積は，

_

¹

2^×10×13



^{×4=260cm より，}

表面積は，260+100=360 (cm²)

160

次の角錐の体積を求めよ。また，⑶については表面積も求めよ。

□⑴ □⑵ □⑶

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■ ４２ 円錐の体積・表面積

右の図の円錐について，次のものを求めよ。

⑴ 体積 ⑵ 表面積

解 ⑴ 底面積は，π×3^=9πcm^ より， 体積は，¹

3×9π×4=12π (cm³⁾

⑵ 側面となるおうぎ形の中心角を a° とすると， 2π×5× ^a

360=2π×3，a=216 側面積は，π×5^ײ¹⁶

360^=15πcm

_{ より，}

表面積は，15π+9π=24π (cm²⁾

〔別解〕 おうぎ形の面積=¹

2×弧の長さ×半径 より， 側面積は，¹

2×2π×3×5=15πcm^

161

次の円錐の体積を求めよ。

□⑴ □⑵ □⑶

162

次の円錐の表面積を求めよ。

□⑴ □⑵ □⑶

163

右の図の影の部分の立体は，円錐を，その底面に平行な平面 で切り，頂点のある方の立体を取り除いた立体である。この立体 の体積を求めよ。

□

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４３ 回転体の体積・表面積

右の図の直角三角形ABC を，次のように 1 回転させてできる立体の 体積と表面積を求めよ。

⑴ 辺AC を軸として 1 回転させる

⑵ 辺BC を軸として 1 回転させる

解 ⑴ できる立体は，底面の半径が8 cm，高さが 6 cm，母線の長さ が10 cm の円錐である。

体積は，¹ 3^×π×8

×6=128π (cm³⁾

表面積は，¹

2×2π×8×10+π×8^_{=144π (cm}²)

⑵ できる立体は，底面の半径が6 cm，高さが 8 cm，母線の長さが 10 cm の円錐である。 体積は，¹

3^×π×6

×8=96π (cm³⁾

表面積は，¹

2×2π×6×10+π×6^_{=96π (cm}²)

164

次の平面図形を，直線 ℓ を軸として1 回転させてできる立体の体積と表面積を求めよ。

□⑴ □⑵

165

次の平面図形を，直線 ℓ を軸として1 回転させてできる立体の体積と表面積を求めよ。

□⑴ □⑵ □⑶

□⑷ □⑸ □⑹

166

次の図の立体の体積と表面積を求めよ。

□⑴ □⑵ □⑶

167

右の図は，直方体から円柱の半分を切り取った立体である。この 立体の体積と表面積を求めよ。

168

右の図は，縦6 cm，横 8 cm の長方形から，1 辺 4 cm の正方形を 取り除いたものである。

□⑴ 直線DC を軸として 1 回転させてできる立体の体積と表面積を 求めよ。

□⑵ 直線ED を軸として 1 回転させてできる立体の体積と表面積を 求めよ。

169

右の図は，1 辺が 6 cm の立方体で，点 P は辺 DC 上の点である。 四角錐F-PABC の体積が立方体の体積の ²

9 ^{であるとき，線分PC} の長さを求めよ。

170

右の図のように，底面の直径が9 cm の円錐を，平面上をすべ らないように転がしたところ，円錐が4 回転したところでもとの位 置にもどってきた。

□⑴ 点線の円の周の長さを求めよ。

□⑵ 転がした円錐の表面積を求めよ。

□

□

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9 ^{空間図形の計量②}

４４ 切断と体積

右の図は，AB=6 cm，AD=3 cm，AE=4 cm の直方体である。また， 点M，N はそれぞれ辺 AB，DC の中点である。この直方体を次の平面 で切るとき，小さい方の立体の体積を求めよ。

⑴ 点M を通り，辺 FG をふくむ平面

⑵ 3 点 M，D，E を通る平面 解 ⑴ 三角柱MBF-NCG

となる。△MBF を底 面とみると高さはCB だから，体積は，

⑵ 三角錐AMDE と なる。△DAE を底面 とみると高さはMA だから，体積は，



¹2^×3×4



^{×3=18 (cm3)} 3^1×



¹2^×3×4



^{×3=6 (cm3)}

171

右の図は1 辺が 6 cm の立方体で，点 M は辺 AE の中点である。こ の立方体を次の平面で切るとき，頂点A をふくむ方の立体の体積を求 めよ。

□⑴ 3 点 M，B，D を通る平面

□⑵ 3 点 M，B，C を通る平面

□⑶ 3 点 M，F，G を通る平面

172

右の図の正四角錐A-BCDE は，底面の 1 辺が 6 cm で，高さが 9 cm である。また，点P は辺 AC 上にあり，底面からの高さが 3 cm の点であ る。この正四角錐を3 点 P，B，D を通る平面で切るとき，点 A をふくむ 方の立体の体積を求めよ。

173

右の図は，AB=5 cm，AD=6 cm，AE=8 cm の直方体である。この 直方体から，4 つの三角錐 BACF，DACH，EAFH，GCFH を切り取って できる立体の体積を求めよ。

□

□

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４５ 複雑な立体

右の図は，∠BAC=90°，AB=6 cm，AC=5 cm，AD=10 cm の三角柱で あ る。点P，Q，R は そ れ ぞ れ 辺 AD，BE，CF 上 の 点 で，AP=7 cm， BQ=8 cm，CR=3 cm である。この三角柱を，3 点 P，Q，R を通る平面で 切るとき，点A をふくむ方の立体の体積を求めよ。

解 点R を通り，面 ABC に平行な平面と，辺 AD，BE の交点をそれぞれ S，T とすると，三角柱 ABC-STR と四角錐 R-STQP に分けられるか ら，

体積は，

_

¹₂×6×5

_

×3+¹

3^×



¹2^{×4+5×6}



^{×5=90 (cm3)}

〔別解〕 三角錐ABCR と四角錐 R-ABQP に分けられるから， 体積は，¹

3^×

^

1

2^×6×5

^

^×3+ 1 3^×

^

1

2^{×7+8×6}

^

^{×5=90 (cm}

3₎

174

右の図は，∠BAC=90°，AB=4 cm，AC=5 cm，AD=6 cm の三角柱である。点P，Q，R はそれぞれ辺 AD，BE，CF 上の点で， AP=BQ=2 cm，RF=1 cm である。この三角柱を，3 点 P，Q，R を通る平面で切るとき，点A をふくむ方の立体の体積を求めよ。

175

右の図は，∠ABC=90°，AB=5 cm，BC=9 cm，AD=8 cm の三角 柱である。点P，Q，R はそれぞれ辺 AD，BE，CF 上の点で，

PD=CR=3 cm，QE=2 cm である。この三角柱を，3 点 P，Q，R を通る 平面で切るとき，点E をふくむ方の立体の体積を求めよ。

176

右の図は，∠BAC=90°，AB=6 cm，AC=8 cm，AD=10 cm の三角柱 である。点P，Q はそれぞれ辺 AC，BC の中点で，PQ⟂AC，PQ=3 cm で ある。この三角柱を，点D を通り，線分 PQ をふくむ平面で切るとき，点 A をふくむ方の立体の体積を求めよ。

□

□

□

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４６ 立体のはり付け

右の図は，正四角柱を1 つの平面で切ったときにできた立体の一 方である。この立体の体積を求めよ。

解 右の図のように，この立体を2 つ重ねると， 正四角柱ができる。求める体積は，この正 四角柱の体積の半分だから，

4^×6×¹

2^{=48 (cm}

3₎

177

次の図は，正四角柱を1 つの平面で切ったときにできた立体の一方である。体積を求めよ。

□⑴ □⑵

178

次の図は，円柱を1 つの平面で切ったときにできた立体の一方である。体積を求めよ。

□⑴ □⑵

179

右の図は1 辺 2 cm の立方体で，点 I，J，K，L，M，N はそれぞれ辺 BC，CD，DH，HE，EF，FB の中点である。これらの点と点 A を結んで できる六角錐A-IJKLMN の体積を求めよ。

□

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４７ 展開図から考える問題

右の図のように，1 辺 4 cm の正方形があり，点 M，N はそれぞれ辺 AB， AD の中点である。いま，線分 MN，MC，CN を折り目として同じ側に折り 曲げ，3 点 A，B，D を 1 点で重ねて立体を作る。

⑴ △MCN の面積を求めよ。

⑵ 立体の体積を求めよ。

⑶ △MCN を底面とするとき，立体の高さを求めよ。

解 ⑴ 正方形の面積から，3 つの直角三角形の面積の和をひいて求める。 4^−

_

¹

2^×2×2+



¹2^×4×2



^×2



^{=6 (cm2)}

⑵ できる立体は三角錐である。△AMN を底面とするときの高さは 4 cm だから， 1

3^×

^

1

2^×2×2

^

^×4= 8 3 ^(cm

3₎

⑶ 求める高さを hcm とすると， 1

3^×6×h= 8 3^，h=

4

3 ^よって， 4 3 ^cm

180

右の展開図を組み立ててできる立体について，次の問いに答えよ。

□⑴ 立体の体積を求めよ。

□⑵ △BDF を底面とするとき，立体の高さを求めよ。

181

右の図1 の △ABC を，直線 AC を軸と して1 回転させて立体を作る。図 2 はこの立 体の展開図である。

□⑴ この立体の体積を求めよ。

□⑵ 図2 で，a の値を求めよ。

□⑶ この立体の表面積を求めよ。

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４８ 球の体積・表面積

半径 r の球の体積を V，表面積を S とすると， V=⁴

3^πr

_，S=4πr

半径6 cm の球の体積と表面積を求めよ。 解 体積は，⁴

3^π×6

=288π (cm³⁾ 表面積は，4π×6^_{=144π (cm}²)

182

次の球の体積と表面積を求めよ。

□⑴ 半径が3 cm の球 □⑵ 半径が5 cm の球

□⑶ 半径が³

4 ^{cmの球 □⑷ 直径が9 cm の球}

183

次の立体の体積と表面積を求めよ。

□⑴ 右の図のように，半径 3 cm の球を中心を通っ て垂直に交わる2 つの平 面で切ってできた立体。

□⑵ 右の図のように，半 球と円錐を組み合わせ た立体。

184

底面の半径が8 cm の円柱形の容器に，水が 15 cm の深さまで入って いる。この中に，半径4 cm の鉄の球を 3 個入れたら，全部水の中に入っ た。このとき，水の深さは何cm になったか。

185

右の図のように，半径4 cm，中心角 90° のおうぎ形 OAB から，3 辺 の長さが3 cm，4 cm，5 cm の直角三角形 OBC を切り取った。この図形 について，次の問いに答えよ。

□⑴ この図形をOB を軸として 1 回転してできる立体の体積と表面積を 求めよ。

□

186

右の図のように，1 辺 6 cm の立方体の各面に，対角線の交点をとる。これ らの点を結んでできる立体の体積を求めよ。

187

右の図は，1 辺 3 cm の立方体 ABCD-EFGH において，4 つの辺 AB， DC，EF，HG 上にそれぞれ点 I，J，K，L をとったものである。

AI=⁴

3 cm，EK=2 cm で，AD，IJ，KL がすべて平行であるとき，次の 問いに答えよ。

□⑴ 点A，E，K，I，D，H，L，J を頂点とする立体の体積を求めよ。

□⑵ ⑴の立体において，辺AD，IJ の中点をそれぞれ M，N とする。この立

体から，点D，M，N，J，H，L を頂点とする立体を取り除いてできる立体の体積を求めよ。

188

右の図は，1 辺 10 cm の立方体で，点 P，Q，R はそれぞれ辺 AE， BF，CG 上にあり，AP=CR，BQ=2AP である。立方体の影をつけた 部分の体積が，つけない部分の体積の ¹

7 ^{であるとき，線分BQ の長さ} を求めよ。

189

右の図は，ある立体の展開図である。この立体において，△AEF を 底面としたときの高さは，¹²

7 ^{cmである。}

□⑴ 立体の体積を求めよ。

□⑵ 立体の表面積を求めよ。

190

半径30 cm のなまりで作った球がある。この球を溶かして，半径 6 cm の球に作り変える。

□⑴ 半径6 cm の球は何個できるか。

□⑵ 半径6 cm の球の表面積の合計は，もとの球の表面積の何倍になるか。

□

□

２章のチャレンジ問題

191

次の問いに答えよ。

□⑴ 右の図1 の三角柱を，辺 AD を軸として 1 回転 するとき，面BEFC が通過する部分の体積を求 めよ。

□⑵ 右の図2 の三角錐を，辺 AB を軸として 1 回転 するとき，面ACD が通過する部分の体積を求め よ。

192

右の図1 は，1 辺 6 cm の立方体で，点 P，Q は辺 AB を3 等分する点，点 R，S は辺 CD を 3 等分する点である。 この立方体を2 平面 PEHS，QFGR で切ってできる立体 (図 2 )について，次の問いに答えよ。

□⑴ この立体の体積を求めよ。

□⑵ 辺FG 上に点 T をとり，この立体を 3 点 R，S，T を 通る平面で切る。点G をふくむ方の立体の体積が 70 cm^になるとき，線分GT の長さを求めよ。

193

1 辺 8 cm の立方体を，右の図のように切 り離して，立体 V を作った。

□⑴ 立体 V の体積を求めよ。

□⑵ 立体 V の表面積を求めよ。

194

右の図1 は，1 辺 9 cm の立方体である。こ の立方体のそれぞれの面について，9 個の合同な 正方形に分けられるように4 本の線分をひく。こ のとき，4 本の線分によって 4 個の交点ができ， 全体では24 個の交点ができる。この 24 個の点を 頂点とする立体を作ると，図2 のようになる。こ の立体について，次の問いに答えよ。

□⑴ 面の数は何個か。